La puntuación directa tradicionalmente es el valor derivado de la medición directa de un elemento, y la frecuencia de la puntuación directa el número de veces que ese valor se repite en una serie de elementos, la muestra.
El fin de la medición seria la obtención de las puntuaciones directas y las veces que se repiten, y así determinar los estadísticos de tendencia central o dispersión. Dentro de la tendencia central la media aritmética es la puntuación media proporcional a la frecuencia de las puntaciones directas, y en los estadísticos de dispersión la Desviación Media sería la dispersión media de las puntuaciones directas en relación a la puntuación media e igualmente en proporción o dependiendo de la frecuencia de las puntuaciones directas.
A partir de esta definición de puntuación directa o frecuencia dentro de la estadística tradicional, la media aritmética es igual a la suma del producto obtenido de la multiplicación de cada puntuación directa por su frecuencia, y el resultado de la suma dividido entre la frecuencia total, la muestra de frecuencias.
Media aritmética tradicional= µ = Σ ( xi · f ): F
Xi = puntuación directa
f= frecuencia
F= Σf = frecuencia total
Además de la puntuación directa, otro tipo de puntuación imprescindible en estadística tradicional es la puntuación diferencial , igual a la diferencia de la puntuación directa menos la media.
Puntuación diferencial tradicional = xi – µ
La puntuación diferencial es la piedra angular para la construcción de los estadísticos de dispersión, el primero de ellos, Desviación Media, en donde quitándole el signo a las puntuaciones diferenciales se multiplican por la frecuencia de su respectiva puntuación directa, y el resultado final de la suma se divide entre el sumatorio de la frecuencia, la frecuencia total.
Desviación Media tradicional = [/( xi – µ)/ · f ] : F
Si las puntuaciones diferenciales, en la Desviación Media, se elevaran al cuadrado, en lugar de Desviación Media se llamaría Varianza,”S²”, y la raíz cuadrada de la Varianza es la Desviación Típica, “S”.
Dos muestras que contemplen las mismas puntuaciones directas, pero distribuidas en diferentes frecuencias, tendrían de todos modos estadísticos de tendencia central o dispersión diferentes.
La forma en que la estadística tradicional define los estadísticos tradicionales de tendencia central o dispersión se explican más detalladamente en el apartado 4 de Introducción a la Probabilidad Imposible.
Finalmente la puntuación típica sería igual a la puntuación diferencial entre la Desviación Típica.
Puntuación típica = (xi – µ) : S
De esta manera lo que se observa es que la base de toda la estadística tradicional es la definición de puntuación directa, en la medida que es de la definición de puntuación directa de lo que dependerá después el cálculo de la puntuación diferencial y la puntuación típica.
Si la estadística tradicional se centra en el estudio de la tendencia de las puntuaciones directas, La teoría tradicional de la probabilidad se centraría en el estudio de la probabilidad de ocurrencia, dado un suceso cual es la probabilidad de que ocurran las diferentes posibilidades u opciones asociados a dicho suceso, de forma que la probabilidad que ocurra cualquiera de las opciones posibles sería igual al cociente de la unidad entre el número de opciones. De esta forma si lanzamos una moneda al aire y hay dos opciones, cara o cruz, la probabilidad de que suceda cara o cruz sería de una entre dos, ½, 0,5, lo cual contrasta frente a la probabilidad que tendría realmente, la frecuencia relativa, también llamada probabilidad de frecuencia o probabilidad frecuencial, igual a dividir la frecuencia particular de cada opción entre la frecuencia total, siendo la frecuencia el número de veces que se produce una ocurrencia determinada.
La estadística y la probabilidad son dos disciplinas de las matemáticas, que a pesar del concepto clásico de las matemáticas, en tanto que ciencia hierática por cuanto sus principios y teoremas son eternos y universales, es una ciencia en continuo movimiento, y gran parte del progreso en las ciencias ha dependido y dependerá de las innovaciones en la investigación pura en matemáticas.
Desde que Riemann y Lobachevsky desarrollaran la geometría no euclidiana, se inician los modelos no lineales, unido al avance en las demás ciencias, especialmente los modelos no lineales en mecánica cuántica y las teorías sistémicas, las matemáticas observan una transformación vertiginosa, donde muchos de los conceptos empezarán a ser sometidos a un examen crítico, generándose nuevas teorías y perspectivas.
Más en concreto, en el campo de la estadística, desde finales del siglo XX y principios del siglo XXI se da un auge de las teorías críticas a la estadística normal, también denominada estadística tradicional, teorías críticas entre las que se encuentra Probabilidad Imposible, que frente al concepto tradicional y muy restringido de lo posible y lo imposible desarrolla una nueva concepción admitiendo la posibilidad de lo imposible bajo determinadas circunstancias lógicas, tal como se explica en el apartado 7 y sucesivos, de Introducción a la Probabilidad Imposible y en el apartado 13, desde una visión dialéctica, al mismo tiempo que positiva y racional.
Para el desarrollo de esta nueva concepción es imprescindible a priori una redefinición de los conceptos básicos en función de los cuales elaborar un discurso coherente sobre estadística y probabilidad, alternativo y complementario a la tradicional, aunque superando la distinción clásica de probabilidad y estadística , diferentes y separadas aunque interconectadas, para avanzar a una teoría unificada, tal como propone Probabilidad Imposible, creando un nuevo campo de estudio, la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística.
A fin de hacer posible la síntesis es necesaria una redefinición sintética de los conceptos más fundamentales, entre ellos los conceptos de puntuación directa o frecuencia.
Mientras tradicionalmente se ha diferenciado de forma hermética y cerrada puntuación directa y frecuencia, en donde la estadística estudia el comportamiento de las puntuaciones directas, y la probabilidad el estudio de la frecuencia, donde la frecuencia relativa es la probabilidad frecuencial o probabilidad de frecuencia, la teoría de Probabilidad Imposible genera un nuevo campo de estudio, la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, en donde, independientemente que sea un estudio centrado en el comportamiento de las puntuaciones directas, estadística tradicional, o frecuencias, probabilidad tradicional, las puntuaciones directas serán estudiadas en tanto que frecuencias, y las frecuencias en tanto que puntuaciones directas, para lo cual se diferencia entre dos tipos de universos, universos de sujetos y universos de opciones.
Los universos de sujetos son aquellos formados por sujetos de predicados, donde el predicado informa de la puntuación directa individual obtenida en la medición de una cualidad particular del sujeto, una cualidad del sujeto común al resto del universo al que pertenece y por la cual el sujeto forma parte de ese universo, si bien cada sujeto puede tener una magnitud de intensidad diferente en la cualidad, en coherencia al resto de sus cualidades particulares, motivo por el cual un mismo sujeto puede pertenecer a tantos universos como cualidades particulares lo definan. El concepto de universo de sujetos debe entenderse como aquel macroconjunto de sujetos que comparten una cualidad en común, aunque diferente en intensidad todos ellos, universo del cual únicamente se puede estudiar una muestra, y dependiendo de la magnitud de la muestra de sujetos dependerá la probabilidad de error de representatividad muestral.
Debido a la limitadas capacidades humanas, origen del error estadístico, dado un universo en la medida que no puede estudiar absolutamente de forma completa, luego el ser humano se ve obligado al estudio de una selección parcial, una parte del universo, la muestra, la muestra de sujetos seleccionada del universo para el estudio estadístico será la muestra N sujetos, siendo N el número de sujetos que forman la muestra.
De esta forma, cuando en Introducción a la Probabilidad Imposible se menciona el concepto de sujeto no debe entenderse en la forma coloquial de persona física, por sujeto debe entenderse cualquier elemento, persona u objeto físico, del cual se ha obtenido una puntuación directa al medir una cualidad determinada, siendo la puntuación directa la magnitud de intensidad de dicha cualidad.
En la medida que los sujetos de un universo pueden tender a infinito, por ejemplo, dada una historia natural infinita podrían haber infinitas estrellas o planetas, o infinitos átomos o partículas subatómicas, o dada una historia social infinita podrían haber infinitas personas, a los universos de sujetos también se les denomina universos de sujetos u opciones infinitos, recalcando, además de su posible naturaleza infinita, su tratamiento en tanto que opciones. En el caso de ausencia de infinito longitudinal en el tiempo, en cualquier periodo de tiempo limitado, en tanto que la subdivisión del tiempo es infinita, igualmente, cabría infinitas mediciones.
El motivo por el cual se destaca la posibilidad de la existencia de universos infinitos es por la sencilla razón que los universos de sujetos se contraponen a los universos de opciones, en donde los universos de opciones en Introducción a la Probabilidad Imposible se llaman directamente universos de opciones limitadas, por cuanto el universo está limitado directamente a las opciones posibles.
Los universos de opciones limitadas a su vez se sub-clasifican en dos tipos de universos, universos de opciones limitadas materialmente o universos de opciones limitadas socialmente. Ejemplos de universos de opciones limitadas materialmente, el ser humano sólo puede ser hombre o mujer, si lanzamos una moneda al aire sólo puede ser cara o cruz, y un ejemplo de opciones limitadas socialmente, en unas elecciones democráticas la intención de voto sólo puede distribuirse entre las distintas opciones políticas o candidaturas que se presentan. Los distintos modelos de universos de opciones se explican más detalladamente en el apartado 9 de Introducción a la Probabilidad Imposible.
En los universos de opciones limitadas, dado que el propio universo de opciones ya viene limitado entonces si se puede estudiar el universo directamente sin selección muestral previa, siendo la muestra N la muestra de opciones, el universo de opciones es en sí mismo la muestra.
Mientras en los universos de sujetos lo que se estudia es la puntuación directa asociada a cada sujeto individualmente, en universos de opciones lo que se estudia es la distribución de la frecuencia entre todas las opciones, siendo la frecuencia particular de cada opción el número de ocurrencias de esa opción, de modo que si la puntuación directa es la magnitud de intensidad en la cualidad del sujeto, y la frecuencia es la magnitud de intensidad en la cantidad de la ocurrencia de una opción, en cualquier caso, puntuación directa o frecuencia son distintas formas de expresarse la magnitud de intensidad, en un caso, puntuación directa, magnitud de intensidad de la cualidad, en otro caso, frecuencia, magnitud de intensidad de la cantidad de ocurrencia.
En la medida que a partir de esta redefinición que hace Probabilidad Imposible de ambos conceptos, puntuación directa o frecuencia, en esencia idénticos, magnitud de intensidad, diferenciándose en que en un caso, puntuación directa, es de cualidad y otro, frecuencia, cantidad de ocurrencia, entonces ya se establecen las bases para la elaboración de una aproximación teórica al estudio de la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, en donde la estadística se aplica a la teoría de probabilidad y viceversa, la teoría de probabilidad a la estadística, en donde, independientemente que sea un estudio de puntuaciones directas en universos de sujetos, o un estudio de frecuencia en universos de opciones, independientemente del tipo de universo la probabilidad empírica será siempre igual a puntuación directa o frecuencia individual entre la puntuación directa o frecuencia total, y la media aritmética igual a inversión de N, al mismo tiempo que probabilidad teórica y otras funciones añadidas, dentro de la multifuncionalidad de la inversión de N.
El motivo por el que de forma universal la probabilidad empírica se defina puntuación directa o frecuencia entre sumatorio de puntuación directa o frecuencia, es para que sea válida para todo tipo de universo posible, ya sea sujetos, probabilidad empírica igual a puntuación directa particular entre la total, o de opciones, probabilidad empírica igual a frecuencia particular entre la total, de esta forma, sintetizando el concepto de puntuación directa o frecuencia en tanto que idénticos, magnitud de intensidad, sólo que uno de cualidad, y otro de cantidad de ocurrencia, pero en esencia, magnitud de intensidad resultado de la medición estadística, todo tipo de universo, de sujetos u opciones, se puede estudiar al mismo tiempo en tanto que estadística y probabilidad.
En la medida que la media aritmética sería igual al promedio del sumatorio de las probabilidades empíricas, entonces la media aritmética de las probabilidades empíricas serían la inversión de N, ya sea N sujetos de una muestra de sujetos extraída de un universo de sujetos, o sea N opciones de un universo de opciones, indistintamente para todo universo posible la inversión de N además de media de las probabilidades empíricas sería la probabilidad teórica, entre otras funciones.
De esta manera, independientemente que en universos de sujetos se mida la puntuación directa de cada sujeto individual, o en universos de opciones la frecuencia de cada opción individual, finalmente, independientemente del tipo de universo, se llevaría a cabo el mismo tratamiento estadístico de la probabilidad, mediante probabilidades empíricas o teóricas, en donde la puntuación diferencial de la estadística tradicional se transformaría en el Nivel de Sesgo, y la puntuación típica se transformaría para adaptarse a un estudio de probabilidades, tal como se explica en el apartado 15 de Introducción a la Probabilidad Imposible.
Desde una visión diferente a los conceptos más básicos de estadística y probabilidad, se elabora un discurso matemático diferente y alternativo, que responde a las actuales expectativas y exigencias de la ciencia, en un proceso de redefinición de la estructura de estas disciplinas.
Rubén García Pedraza, Madrid a 29 de junio del 2013
La Librería Matemática de Probabilidad Imposible
