Estadística descriptiva

La estadística descriptiva es aquella parte o campo de la estadística, disciplina matemática y método científico, que tiene por objeto, dada una muestra, identificar la tendencia observada, la descripción del comportamiento estadístico, señalando sus principales rasgos o características, para lo que se diseñan diferentes estadísticos,  en la estadística tradicional clasificados en función de si son de tendencia central o dispersión, de tendencia central destacan la Media Aritmética, Moda y Mediana, y de dispersión, Desviación Media, Varianza y Desviación Típica.

Frente a la taxonomía tradicional, en estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, Introducción a la Probabilidad Imposible propone una nueva clasificación complementaria y alternativa, a partir del estudio de las puntuaciones directas o frecuencias de los sujetos u opciones en la muestra, donde se diferencia entre estadísticos individuales o muestrales, teóricos o empíricos, estableciéndose estadísticos individuales, empíricos y teóricos, y estadísticos muestrales, empíricos y teóricos, y sobre los contrastes entre valores empíricos, teóricos y críticos, la crítica racional de la realidad, la estadística inferencial, ya sea en estudios intramedicionales, o intermedicionales, en donde se ubicarían además los estudios comparados entre mediciones de muestras o poblaciones diferentes.

La estadística descriptiva, por tanto, se limita sólo y exclusivamente a la descripción de las tendencias, siendo la descripción el proceso que, a través de los estadísticos, detalla e informa de los principales rasgos o característica de una tendencia, siendo la tendencia el comportamiento estadístico, ya sea a nivel individual, sujeto u opción, o muestral, del conjunto de elementos de la muestra, y siendo una información o detalle sólo estadístico por cuanto sólo y únicamente se limita al estudio descriptivo de las  mediciones cuantitativas, descartándose cualquier valoración subjetiva o cualitativa, por cuanto la estadística es catalogada un método particular de investigación cuantitativa, particular por cuanto el  método general o método científico en general de las ciencias es el método deductivo, y en concreto en las ciencias sintéticas o empíricas, el método hipotético deductivo, el cual a su vez puede utilizar de diferentes técnicas o métodos de estudios subordinados, entre ellos, entre los cuantitativos, la estadística, y dentro de la estadística, si el  objeto es sólo informar o detallar de una determinada tendencia, sin someterla a una crítica racional exhaustiva o comparación externa, la estadística descriptiva.

La principal diferencia entre estadística descriptiva e inferencial, es que mientras la descriptiva únicamente describe tendencias, individuales o muestrales, la naturaleza del comportamiento estadístico de un sujeto u opción o muestra en general, la estadística inferencial determina si una tendencia dada, sobre una hipótesis empírica,  es suficiente para ser racional, pasando la hipótesis de ser empírica a provisionalmente objetiva, formando parte de la teoría de la ciencia. La aceptación racional de la tendencia depende de la política científica, que establece el criterio racional, razón crítica, a la luz de la cual decide la aceptación provisional de las hipótesis empíricas para ser racionales.

A su vez la estadística descriptiva se diferencia de la estadística comparada por cuanto si el objeto de la estadística descriptiva es únicamente describir, es sobre los datos obtenidos de la descripción cuantitativa de varias realidades sobre la que a posteriori la estadística comparada puede realizar comparaciones cuantitativas sobre las diferentes realidades, dentro de las ciencias comparadas en general, o en los modelos estructuralistas particulares de las ciencias sociales, entendiendo por proceso de comparación la puesta en contraposición o contrastes de dos o más entidades.

En cualquier caso, ya sea el objeto último de un estudio la verificación de una hipótesis particular, estadística inferencial, o  la comparación, estadística comparada, sea cual sea la intención última del modelo lo que es necesario de partida es una descripción lo más fidedigna o fiel posible a la realidad, una descripción fiable, lo cual depende del proceso de elaboración y síntesis de datos que ofrece la estadística descriptiva, siendo por tanto la estadística descriptiva la primera fase de estudio en cualquier proyecto de investigación cuantitativa, racional o comparada.

Todo proyecto de investigación cuantitativo de la realidad, ya sea para comparar diferentes entidades o criticar racionalmente la realidad, debe partir de una descripción estadística lo más isomorfa posible,  lo cual dependerá del criterio o método utilizado y la política aplicada a la selección muestral.

El  motivo de  porque se exige fiabilidad en los estudios estadísticos se explica ampliamente en el apartado 2 y apartado 7 de Introducción a la Probabilidad Imposible, la definición del error que se maneja en la obra  parte de una definición dialéctica, de hecho, Introducción a la Probabilidad Imposible es una obra en la cual se sintetizan diferentes corrientes filosóficas, racionalismo crítico, positivismo y materialismo dialéctico, y precisamente, si para el positivismo lógico la identidad dialéctica de los opuestos propuesta por Hegel es un error, por cuanto la  proposición “A = B”, según Wittgenstein, es lógicamente errónea, por cuanto únicamente es verdadera la proposición “A = A”, en Probabilidad Imposible el error lógico se muestra dialécticamente necesario, siendo el error lógico “A = B” lo que la política científica se ve obligada a aceptar, si bien, sólo debe aceptar el menor posible.

La razón por  la cual la política científica debe aceptar el error lógico, aunque sea el menor posible, se debe a la propia contradicción dialéctica implícita en la antropología humana, el ser humano en tanto que en ser en si, limitado por su propia forma o definición humana, entra en contradicción frente a la infinitud de cualidades singulares de la verdadera realidad real, la verdad pura e incognoscible, esa contradicción hace que cualquier definición limitada sea necesariamente provisional, en  un margen de error lógico o necesario entre la definición de la realidad y la realidad misma, en esencia la contradicción entre la verdadera realidad moral, la verdad moral del universo, y la verdad moralmente política, la verdad política, lo que a juicio de la política científica es verdad de acuerdo a su razón crítica, establecida por la política científica de acuerdo a su ideología política.

La contradicción entre verdad moral del universo, lo que realmente es verdad, y verdad política, lo que la política científica alcanza a conocer o está dispuesta a aceptar, es la base de las cíclicas contradicciones, crisis, y revoluciones científicas, en la medida que dependiendo de los márgenes de error aceptados por los diferentes paradigmas, dependiendo del grado de isomorfismo alcanzado en sus definiciones de la realidad, el isomorfismo entre realidad política y realidad real, se alcanzan niveles de estabilidad o progreso en el desarrollo de la ciencia y la sociedad, la historia humana.

En esencia la contradicción antropológica humana que tiene su origen en la contradicción entre realidad humana limitada frente realidad fuera de sí infinita, es en esencia la contradicción entre idea y realidad, en donde en función del grado de isomorfismo entre ambas variables depende la estabilidad o progreso de la historia social y de la ciencia.

Dentro de los paradigmas cuantitativos, en los que cabe englobar Probabilidad Imposible, en la estadística descriptiva esta contradicción entre realidad para sí, política, y realidad en sí, la verdad moral, queda manifestada en la necesidad de aceptar un margen de error de representatividad muestral, ya sea en estudios muestrales o poblacionales, en la medida que es el  único margen de error que opera en la estadística descriptiva, dado que es aquella parte o campo de la estadística que no desarrolla una praxis crítica o comparada.

Estudios muéstrales son aquellos que dado un universo no puede estudiar todo el universo de forma completa, teniendo que seleccionar de ese universo una muestra de lo que sucede, en donde, la contradicción dialéctica entre realidad en si y fuera de sí queda manifestada en el momento esa muestra, que no es el universo, dice representar a ese universo, cuando en realidad no lo es, de forma que se parte de una identidad entre muestra, factor A, y universo factor B, en donde si se dice que A representa a B, para describir B basta con describir A, en tanto que si A es suficientemente representativo de B, se da entonces la igualdad dialéctica entre A y B, dándose el error lógico de la contradicción dialéctica, en donde siendo falso que “A = B”, es un error lógico dialécticamente necesario que la política científica tiene aceptar, al menos en el menor margen de error para ser lo más fiable posible.

En el caso de la estadística inferencial el error lógico dialécticamente necesario propio de la inferencia es la identidad dialéctica entre lo real, A y lo ideal B, en donde la máxima hegeliana, según la cual todo lo real es ideal y todo lo ideal es real, es sólo cierta parcial y provisionalmente, por que, en Probabilidad Imposible, sólo y exclusivamente dentro del margen de error que acepte la política científica se aceptará el isomorfismo idea y realidad, porque más allá del error necesario es políticamente falso que todo lo real sea ideal y  viceversa.

Evidentemente la forma en que en los ejemplos se designa A, a la realidad o la muestra, y B, al universo o la idea, es arbitraria, se podría designar a A o B de forma inversa, la única función que cumple designar de uno u otro modo a uno u otro factor, A o B, es revelar la naturaleza del error en la lógica y la dialéctica para entender la necesidad dialéctica del error lógico en la estadística y la probabilidad.

Volviendo a la estadística descriptiva, en los estudios muéstrales en Introducción a la Probabilidad Imposible se explica como la forma de cuantificar el margen de error de representatividad muestral dependerá del tipo de universo, clasificándose dos tipos de universos, de sujetos u opciones infinitos o de opciones limitadas, de modo que en universos de sujetos la probabilidad de error de representatividad muestral vendrá dado por la función de inversión de N, 1/N, y en universos de opciones limitadas por la inversión de las puntuaciones directas o frecuencias, 1/Σxi.

Estudios poblacionales serán aquellos en donde si el universo viene definido por una población durante una historia particular, y es posible el estudio completo de toda la población en un momento particular de su historia, entonces no es necesario, para ese momento  de su historia, la selección de una muestra, pudiendo estudiarse de forma completa la población. Un ejemplo, si queremos estudiar la distribución de la renta per capita en una sociedad, no es necesaria una selección muestral, directamente se estudia a la población completa. Si tenemos una base de datos que contenga los datos de toda la población de ballenas en el mundo, podríamos estudiar directamente a toda la población de ballenas sin necesidad de una selección muestral previa. Si dada una galaxia pudiéramos estudiar toda la población de estrellas que componen esa galaxia, sería innecesario la selección de una muestra representativa.

En principio todo estudio poblacional se revela como independiente de la selección muestral, salvo por un detalle, en el momento que conceptualizamos la población como una población en un momento particular de su historia, lo que en realidad estudiamos es una muestra de esa historia en particular, es decir, la distribución de la renta per capita en una sociedad en un momento de su historia es sólo una muestra de la evolución de la renta per capita en su historia, posiblemente a lo largo de su historia la evolución de la distribución de la renta per capita experimente cambios de los cuales cualquier estudio puntual en un momento dado es sólo una muestra de su evolución en su historia. Igualmente, si queremos estudiar el comportamiento de las ballenas, no es igual el estudio que se haga de la población de ballenas en un momento u otro de la historia, dependiendo del grado de extinción de las ballenas que ha podido introducir cambios en su comportamiento alimenticio o en sus rutas migratorias, e igualmente no es igual el comportamiento de una población de estrellas dependiendo de su edad, no es igual el comportamiento que puedan tener en sus primeros años de juventud o en su momento de mayor envejecimiento próximas a producir estrellas de neutrinos, supernovas o agujeros negros. El estudio de una población, al igual que el de una muestra cualquiera, en un momento de la historia es el estudio de una muestra de la historia.

Si bien los estudios poblacionales se diferencian de los estudios muestrales en que en los estudios poblacionales la probabilidad de error de representatividad muestral viene dado por la dimensión de la población, inversión de N o inversión de las puntuaciones directas o frecuencias, a los estudios poblacionales se les aplica los mismos procedimientos de estudio que a los muestrales.

Si bien los estudios poblacionales se ubican en los universos de sujetos u opciones infinitos, si el objeto de estudio son las puntuaciones directas de la población, e infinitos en cuanto la historia natural, la evolución de lo que sucede en el espacio tiempo, es la continua transformación infinita, de la materia en energía y la energía en materia, dado que si ni se crean ni se destruyen no tienen un origen o final, es una dialéctica infinita sin principio ni fin histórico, en aquellos estudios poblacionales donde lo que se estudian sean frecuencias, por ejemplo, en poblacionales humanas, la proporción de hombres o mujeres en la sociedad o la tasa de votos por candidatos o delegados en una democracia representativa, serían estudios poblacionales en un universo de opciones limitadas.

La estadística descriptiva, por tanto, al igual que la estadística inferencial o comparada, está también sujeta a márgenes de error, sólo que el margen de error de la estadística descriptiva es el margen de error entre  la muestra o población y el universo y su historia.

Dentro de este margen de error, la estadística descriptiva pretende una información cuantitativa lo más detallada posible de las tendencias reales observadas, a través de los estadísticos, en estadística tradicional, de tendencia central o dispersión, en Introducción a la Probabilidad Imposible, individuales o muestrales, empíricos o teóricos.

El motivo por el cual en Introducción a la Probabilidad Imposible se hace una taxonomía alternativa a la tradicional, se debe a que, dialécticamente, en la medida que los opuestos son idénticos, en realidad,  llega un momento en la identidad matemática entre dispersión y tendencia central donde esta clasificación es innecesaria y carece de lógica, porque llega un momento en donde toda tendencia, incluida la central, son estadísticos de dispersión, y viceversa, dado que son en realidad lo mismo, dándose siempre más preferencia a la dispersión por cuanto dialécticamente todo conocimiento es el conocimiento de las diferencias, la primera y principal de ellas, la diferencia entre lo en si y lo fuera de sí, a fin de asimilarlo, hacerlo para sí.

Mientras para la estadística tradicional la tendencia central y la de dispersión son diametralmente opuestas sin haber nada en común, en Probabilidad Imposible se da el caso que el principal estadístico de tendencia central para la estadística tradicional, la Media Aritmética, es una función que ejerce la inversión de N,1/N, que, en Probabilidad Imposible desarrolla una multifuncionalidad en virtud de la cual inversión de N, 1/N, es al mismo tiempo Media Aritmética y probabilidad de dispersión teórica en universos de sujetos u opciones infinitos, o también llamados para abreviar universos de sujetos o universos infinitos, es decir, lo que para la estadística tradicional es sólo tendencia central, en Probabilidad Imposible es al mismo tiempo tendencia central y dispersión, de igual forma, si para la estadística tradicional la Desviación Media es un estadístico de dispersión del cual surgen los demás, Varianza y Desviación Típica, con la diferencia que en Varianza se elevan al cuadrado las puntuaciones diferenciales, y en Desviación Típica es simplemente raíz cuadrada de la Varianza, siendo en todo caso estadísticos de dispersión, en Probabilidad Imposible la Desviación Media es al mismo tiempo un estadístico de dispersión y de tendencia central, por cuanto, en realidad la Desviación Media es la tendencia central del sesgo.

Otro caso más de identidad dispersión y tendencia central es la moda, mientras para la estadística tradicional es de tendencia central, el elemento de mayor frecuencia, en la identidad sujeto u opción que hace Probabilidad Imposible, la moda, en universos de opciones limitadas, sería la probabilidad empírica máxima o máxima probabilidad empírica, o simplemente la máxima, a efectos de tener la mayor frecuencia, al igual que en universos de sujetos la máxima sería para el sujeto que tuviera la mayor probabilidad empírica por tener la mayor puntuación directa, siendo la máxima la probabilidad empírica de aquel sujeto u opción que tendría la mayor dispersión empírica individual posible, el mayor Nivel de Sesgo normal, luego dependiendo del punto de vista desde el cual se observe el fenómeno de la moda, puede entenderse como un estadístico de tendencia central, en función del cual se aglutina la mayor parte de la muestra, o de máxima dispersión empírica posible, aquel que más se diferencia de la norma estadística, la Media Aritmética o inversión de N.

A partir de los estadísticos es como la estadística descriptiva señala como es la tendencia particular de un determinado elemento de la muestra, sujeto u opción, o la muestra en general, iniciando el estudio, en Introducción a la Probabilidad Imposible, desde el cálculo de  las probabilidades empíricas, la probabilidad teórica, los Niveles de Sesgo normales, la Desviación Media o Típica, y, para los modelos normales, los estadísticos teóricos de máxima tendencia, necesarios además para la crítica racional en estadística inferencial, desde  el Máximo Sesgo Teórico Posible, Máximo Sesgo Empírico Posible, a la Máxima Desviación Media Teórica Posible, y todos los demás, incluida la MáximaDesviación Típica Teórica Posible, expuesto todos ellos de  forma sintética en el apartado  11 de Introducción a la Probabilidad Imposible, así como sus correlatos para el estudio de puntuaciones directas o frecuencias en el apartado 12.

En Introducción a la Probabilidad Imposible se diferencia entre modelos normales y modelos omega en la medida que tendrán ideales y estadísticos diferentes. En líneas generales los modelos normales son aquellos en donde la dispersión puede oscilar entre cero o máxima, calculándose la máxima dispersión según sea individual o muestral, la máxima dispersión individual puede ser empírica o teórica, según sea Máximo Sesgo Empírico Posible o Máximo Sesgo Teórico Posible, y la máxima dispersión muestral posible mediante la Máxima Desviación Media Teórica Posible o la Máxima Desviación Típica Teórica Posible, y a nivel empírico la máxima dispersión muestral empírica es la Desviación Intermedia, igual a dividir entre dos la diferencia de la máxima menos la mínima, siendo la máxima igual a la máxima probabilidad empírica y siendo la mínima igual a la probabilidad empírica mínima. Los modelos normales son aquellos en donde el objeto de estudio puede variar entre igualdad de oportunidades o sesgo, sean estudios de sesgo positivo o negativo, siempre y cuando en los estudios de sesgo de todos los sujetos u opciones de N sólo halla uno que sea el único ideal posible.

Si dentro delos N sujetos u opciones hay más de un sujeto u opción ideal, en igualdad de ideal, entonces será un modelo omega, aquellos en donde la magnitud de los sujetos u opciones ideales dentro de N varía entre dos y N menos uno,  pero en todo caso hay más de un ideal posible, dado que en caso contrario sería un modelo normal donde hubiera un único ideal, y en cualquier caso nunca puede toda N ser igual de ideal, dado que si toda N es igual de ideal entre sí entonces sería un modelo normal de igualdad de oportunidades. En Introducción a la Probabilidad Imposible los modelos omega tendrán sus propios estadísticos ideales.

La estadística descriptiva, independientemente del tipo de universo, infinito o limitado, o modelo de estudio , normal u omega,  es siempre aquel estudio cuantitativo de la realidad que únicamente se limita a dar la información más detallada posible de lo que sucede, sin pretensión de validar idea previa alguna  o hacer comparaciones, y en este sentido si bien el método general de la ciencia es deductivo, en los métodos descriptivos su único propósito es la inducción de lo que sucede de la simple observación de los hechos, si bien la inducción no es suficiente para demostrar nada, dado que no se somete a la crítica racional, objeto ya de la estadística inferencial sobre el establecimiento previo de una tesis, idea todavía no validada síntesis de hechos observados y esquemas e ideas previas, estas últimas a su vez síntesis de ideas y esquemas de diversa naturaleza, ya sean las teorías previas provisionalmente aceptadas por la ciencia, o ideas filosóficas, políticas, o subjetivas, dando lugar dicha síntesis, entre lo observado y lo a priori,  a una deducción lógica, una hipótesis que debe ser puesta a prueba en la práctica en el contraste de ideas o crítica racional, objeto de la estadística inferencial .

En cualquier caso, todo proyecto de investigación, sea racional, contraste de hipótesis, o comparado, la comparación de diferentes estadísticas, deberá tener por primera fase del estudio la estadística descriptiva, sobre la que elaborar la colección de mediciones, datos e informaciones, para criticar o comparar posteriormente la realidad. Si bien otro uso de la estadística descriptiva es su utilización inductiva, la descripción cuantitativa de la realidad para una primera exploración inicial de una serie de hechos o fenómenos, de la que inducir qué está sucediendo, para posteriormente, sobre la síntesis de la inducción y los esquemas e ideas previas, de la ciencia, la filosofía y la política, o subjetivas del investigador, deducir hipótesis que posteriormente sean contrastadas, tal como se explica en el apartado 10 de Introducción a la Probabilidad Imposible.

En resumen, la estadística descriptiva es la primera forma y más intuitiva de la estadística, que tiene por objeto la descripción de la tendencia, es decir, la descripción del comportamiento de lo que sucede en una muestra o población, para en fases posteriores, hacer comparaciones y estudios racionales.

Rubén García Pedraza, Madrid a 31 de agosto del 2013

 

 

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Ciencias Comparadas

Ciencias Comparadas son aquellas ciencias, sean sintéticas o analíticas, que utilizan el método comparado en el conocimiento de la realidad, estableciendo correlaciones, ya bien diferenciales, similitud, o competición, entre dos o más entidades, sean dichas entidades dos o más variables, que se ponen en relación entre sí, o conjunto de variables o mutivariables, o sean dichas entidades dos o más relaciones que a su vez se ponen en relación entre sí, relación de relaciones, o entre dos o más modelos sean empíricos o teóricos.

Hay que diferenciar entre comparación en tanto que recursos literario o figura estilística y la comparación en tanto que método científico. En tanto que recurso literario o figura estilística cumple una función estética o poética del lenguaje, utilizado en aquellos géneros literarios destinados al uso artístico, especialmente poesía, teatro, relato corto o novela,  función que puede ser empleada en la filosofía y la ciencia para facilitar la comprensión cualitativa de una idea particular poniéndola en comparación frente a otra idea que tenga alguna semejanza, en donde la función de la comparación estética es la puesta en relación de dos o más entidades en aquellos rasgos que les sean comunes, en donde en aquello que A y B tiendan a ser iguales. En tanto que figura literaria el uso cualitativo de la comparación en filosofía y ciencia tiene por objeto que siendo, para el interlocutor o destinatario del discurso, A un factor conocido y B un factor desconocido o se pretende incrementar la comprensión de su comportamiento, en aquello que A y B tiendan a ser iguales, se dice, para ese rasgo particular, “B como A” o “B al igual que A”, dándose a entender que en aquel rasgo que se está explicando, y el interlocutor o receptor del discurso desconoce,  el comportamiento de A y B tiende a ser idéntico, de modo que conociendo el interlocutor o destinatario el comportamiento de A y desconociendo B se facilita la comprensión del comportamiento de B en aquel rasgo en particular poniéndolo en relación al de A.

A diferencia de la comparación en tanto que figura literaria para facilitar la comprensión cualitativa de una idea, para que el receptor o destinatario del discurso la entienda más fácilmente, en la comparación en tanto que método científico se utiliza dentro de la función gnoseológica del lenguaje y la finalidad es ya directamente el conocimiento de una realidad, ya sea el comportamiento diferencial, similitud o competición, entre dos o más variables o conjuntos de variables, multivariables, o de dos o más relaciones entre sí, o de dos o modelos empíricos o teóricos, para la cual, dependiendo del paradigma de partida, lineal o no lineal, se hará una interpretación más o menos simple o compleja, en función se reduzca al establecimiento de causas y efectos inmutables, comunes o diferentes a las entidades estudiadas, o se entienda la naturaleza estocástica de la realidad, luego dinámica, y a lo más que pueda hacer la ciencia es el estudio de las correlaciones diferenciales o similitud o competición, para la validación racional de hipótesis empíricas.

El método comparado dependiendo del paradigma de partida en la ciencia a la que se aplique pueden partir de la utilización de técnicas cualitativas o cuantitativas. Hay que decir que mientras las comparaciones cualitativas se circunscriben únicamente a determinados paradigmas de las ciencias sociales, la comparación cuantitativa es válida para todas las ciencias sintéticas, naturales o sociales. El uso de técnicas cuantitativas en el método comparado para todo tipo de ciencias empíricas o sintéticas, naturales o sociales, fue ampliamente defendido por el positivismo, y posteriormente el estructuralismo, un rasgo ampliamente recogido en Introducción a la Probabilidad Imposible, que en la síntesis que hace de estadística y probabilidad propone el uso de técnicas de estudio cuantitativos de aplicación a todas las ciencias empíricas o sintéticas, naturales o sociales.

 En el caso de la comparación cualitativa en las ciencias sociales el objeto de la comparación son las diferentes categorías o conceptos sobre las cuales se estructura una realidad, se limita únicamente a la comparación entre las diferentes conceptos o concepciones de los elementos que se ponen en relación entre sí, por ejemplo, en derecho comparado, la comparación entre diferentes articulaciones de la ley en diferentes lugares, o en un mismo lugar en diferentes momentos de su historia, lo que se compara en esencia son los conceptos que se utilizan y la concepción de la justicia. Por ejemplo, si hubiera que comparar la administración de justicia de una sociedad a otra sociedad estudiar los conceptos de justicia que utilizan ¿los conceptos de derechos, libertad, igualdad o justicia son universales o relativos a las culturas, las sociedades o la época histórica? Y las concepciones que manejan ¿Cuál es la finalidad o intención última en su forma de administrar justicia, parte de una idea antropológica o filosófica previa, cuáles son las semejanzas o similitudes entre diferentes sociedades?, ¿ se puede decir que hay sociedades más justas que otras, se pueden establecer relaciones de competición en justicia, en base a qué criterio comparativo decimos que una sociedad es más justa que otra, en base a la libertad, la igualdad, los derechos, y sobre que concepción de la justicia, la libertad, la igualdad, los derechos, elaboramos el ranking de sociedades más justas y menos justas? La selección de los criterios comparativos en la comparación cualitativa, al igual que en la cuantitativa, depende de la política científica, en donde la diferencia entre los criterios cualitativos y los cuantitativos es que estos últimos, los cuantitativos, se diferencian porque son racionales y se concretan en la razón crítica, en función de la cual, en Introducción a la Probabilidad Imposible, se elaboran todos los modelos de crítica racional.

La comparación cuantitativa, a diferencia cualitativa, no se establece sólo sobre la diferenciación descriptiva de los rasgos o características que definen una categoría o concepto o la función de una determinada concepción social. Si bien toda comparación cuantitativa debe partir de la definición a priori del objeto de estudio, una vez definido el objeto se estudia la relación o correlación entre si de las diferentes entidades, estudiando sobre sus magnitudes, valores, modelos empíricos y teóricos, estableciendo relaciones de igualdad, inferioridad o superioridad, para alcanzar finalmente una definición racional.

Mientras la comparación cualitativa se queda en la definición de categorías, y las diferencias y semejanzas entre definiciones, y en función de los criterios cualitativos de la política científica el establecimiento de niveles subjetivos de deseabilidad o no determinados por la política científica, en la comparación cuantitativa se exige ciertos niveles de objetividad, es decir, criterios objetivos que independientemente de la orientación ideológica de la política científica puedan ser aceptados por la ciencia, aunque sea provisionalmente, de forma que la comparación cuantitativa se da de manera que dados los valores cuantitativos de diferentes entidades se compara las relaciones de igualdad o semejanza, o diferencias proporcionales en forma de superioridad o inferioridad entre ellos, o en función de un valor teórico o crítico. En introducción a la probabilidad Imposible el valor crítico se denominará razón crítica, y se concreta en la probabilidad crítica.

Por ejemplo, en derecho comparado, no sólo comparar definiciones de libertad, igualdad, justicia o derecho, y sus articulaciones judiciales, hacer comparaciones cuantitativas entre las tasas de criminalidad entre diferentes lugares, pueblos o comunidades, países, regiones o continentes, en donde además dichas tasas se pueden correlacionar justo a otras variables, clase social, etnia, género, índices de pobreza, diferencia media de renta por clase social o inversión pública en infraestructuras y sistemas o servicios sociales o asistenciales. Y además no sólo se comparen las tasas entre sí, desde la política científica se puedan elaborar relaciones en forma de ranking, ya sea en crecimiento o decrecimiento, de criminalidad, o de correlación simple o múltiple de la criminalidad frente otras variables, o el establecimiento de valores críticos de criminalidad, o de correlación entre criminalidad y otras variables, desde los cuales y por debajo a pesar de los índices estudiados se pueda afirmar objetivamente que es una sociedad relativamente segura o justa, y por encima de los cuales esa sociedad sea una sociedad insegura o injusta.

Es decir, una buena administración de justicia no es sólo la definición de conceptos de justicia, derecho, libertad e igualdad, es la forma en que se sistema de justicia desarrolla su función social y se puede estudiar cuantitativamente.

Probabilidad Imposible es una nueva teoría cuyo campo de conocimiento o disciplina de estudio es la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, elaborando y redefiniendo conceptos clásicos de matemáticas actualizando a una visión alternativa, en donde si se dice que una comparación es la puesta en relación entre sí o correlación, entre diversas entidades, sean variables o conjunto de variables, realidades multivariables, o sea el estudio de la relación entre relaciones, o entre modelos empíricos y teóricos, en donde a partir de criterios objetivos, probabilidades y estadísticas, se establecen los criterios objetivos sobre los cuales poder operar las diferentes comparaciones.

Si una comparación puede ser por ejemplo la puesta en relación o correlación diferencial entre una variable empírica y otra teórica, una comparación es ya de por sí la diferencia entre probabilidad empírica y probabilidad teórica, el Nivel de Sesgo, luego la Desviación la Media o Típica es la tasa media de correlaciones diferenciales producto de la comparación entre las diferentes probabilidades empíricas de una misma muestra y la inversión de N en tanto que media aritmética de las probabilidades empíricas, en el caso de Desviación Media, o raíz cuadrada de la media aritmética de los Niveles de Sesgo al cuadrado.

Ya de por sí el Nivel de Sesgo supone una comparación por cuanto en función de la probabilidad teórica se puede deducir si la probabilidad empírica es igual o está por encima o debajo de la media muestral, y en tanto que tasa de correlación diferencial media, independientemente del signo, de cada probabilidad empírica frente a la teórica, la Desviación Media o Típica

En la medida que en la comparación cuantitativa se pone en relación diferentes entidades, ya de por sí no sólo toda la estadística tradicional, el primer método, se estructuraría sobre comparaciones, la puntuación diferencial, en el Segundo Método sería Nivel de Sesgo, y en general toda la estadística inferencial se estructuraría sobre la comparación entre el modelo empírico y el modelo teórico, la razón crítica, sobre cuyo contraste o comparación se acepta o no la hipótesis empírica.

En Introducción a la Probabilidad Imposible la comparación se hará a diferentes niveles, entendiendo que si bien el primer nivel, individual, de comparación es ya de por el Nivel de Sesgo normal, la diferencia entre probabilidad empírica y teórica, y a nivel muestral la Desviación Media o Típica, a diferencia de la estadística tradicional, entenderá también la posibilidad de elaborar comparaciones directas, a nivel individual y muestral, entre diferentes probabilidades empíricas o estadísticos individuales, en las llamadas estadísticas relativas, tal cual se explican en el apartado  14 de la obra, en donde se puede comparar directamente cualquier estadístico individual frente a cualquier probabilidad empírica, así como también comparaciones relativas a nivel muestral, partiendo de las diferencias medias de cualquier estadístico individual o probabilidad empírica en relación a los demás sujetos u opciones, en cualquier caso, este primer nivel de comparación,  individual o muestral, sea normal en función de inversión de N, o relativo a cualquier estadístico individual, se llamaría estudio intramedicional, en la medida que cualquier contraste que se pueda hacer partiendo de una medición será entre los valores internos de esa medición determinada, denominándose por tanto estudio intramedicional, habiendo la posibilidad de diferentes modelos de crítica racional o contraste de hipótesis, a nivel individual o muestral, en estudios intramedicionales.

Los  estudios intermedicionales serán aquellos en donde ya lo que se comparan son los datos obtenidos de diferentes mediciones, en donde dependiendo de si esas mediciones se han hecho a una misma muestra de sujetos u opciones en momentos diferentes, o a diferentes sujetos u ociones, podrán ser intermedicionales intraindividuales, la comparación de los resultados obtenidos por un mismo sujeto u opción en diferentes mediciones, intermerdicionales interindividuales, la comparación entre resultados de diferentes sujetos u opciones en mediciones diferentes, en donde a su vez pueden ser intermedicionales intramuestrales, comparación entre los resultados obtenidos en diferentes mediciones, en distintos momentos, lógicamente, por diferentes sujetos u opciones pertenecientes a una misma muestra, o intermedicionales interindividuales intermuestrales si los diferentes sujetos u opciones a comparar son de diferentes muestras y de diferentes mediciones. Los estudios intermedicionales se explican a partir del apartado 17 de Introducción a la Probabilidad Imposible.

El método comparado en tanto que método científico particular es de enorme relevancia para la ciencia en la medida que permite la puesta en relación de información diversa, en donde si bien en el siglo XIX el estructuralismo introduce la dicotomía entre método experimental propio de las ciencias naturales y método comparado propio de las ciencias sociales, esta dualidad ha sido superada, y en cierto sentido los estudios experimentales en donde se pone en relación los resultados obtenidos antes, durante y después de la prueba experimental, lo que se hace es poner los datos en relación entre sí, en realidad lo que hacen es comparar datos entre si de diferentes mediciones.

En realidad cualquier contradicción u oposición entre método experimental o comparado es artificial, y más que una dualidad metodológica se avanza a una complejidad, en donde si bien pueden existir diferentes métodos particulares, por ejemplo el método experimental, el método comparado, el método histórico, o el método estadístico, el método general de la ciencia sigue siendo la deducción, y en el caso particular de las ciencias sintéticas el método hipotético deductivo. Cualquier contradicción entre método experimental o comparado carece de lógica porque en el momento que el modelo experimental exija la comparación de los diferentes resultados entre el antes o durante, y el después, de la manipulación de la realidad, o la comparación entre los resultados entre grupo de control y experimental, o la comparación entre los resultados obtenidos de diferentes diseños experimentales, el método experimental precisa del método comparado. Es decir,  el método experimental consiste en la manipulación científica de la realidad, una vez estudiada una realidad el método estadístico permite la sistematización de los datos recogidos, y en el momento que se quieran poner en relación datos estadísticos experimentales, se precisa del método comparado, siendo todos ellos métodos complementarios entre si y no excluyentes.

Igualmente el método histórico, ya se entienda en su versión cualitativa, narración o explicación de los hechos en base  una teoría de la ciencia, paradigma, o en su versión cuantitativa, tal como entiende Probabilidad Imposible, estudio de lo que sucede en espacio tiempo  ya sea en la naturaleza o la sociedad o en ambas , historia del azar, si en un estudio el objeto de la historia es la definición, cualitativa o cuantitativa de unas determinadas condiciones , naturales o sociales, o su evolución, sin ponerlas en relación de comparación entre sí, entonces el método histórico no implica el método comparado, ahora bien, en el momento en que el método histórico sea utilizado para comparar las condiciones o evoluciones en diferentes momentos históricos, diferentes mediciones, entonces el método histórico precisa del método comparado, pasando la historia comparada, en tanto que disciplina de la historia, a formar parte las ciencias comparadas, al igual que otras disciplinas de las ciencias sociales o naturales.

En el caso particular de la estadística, se considerará estadística comparada, aquella disciplina de la estadística que tenga por objeto la comparación estadística, si bien, en realidad, la estadística descriptiva o inferencial no se consideran metodologías comparadas, el método estadístico es un método por sí mismo autónomo e independiente, aunque , en realidad, lo que hacen es contrastar, es decir, comparar, valores empíricos, en Probabilidad Imposible ya sea de forma normal, en base a inversión de N, relativa, cualquier estadístico individual, o crítica, la probabilidad crítica.

De esta forma, si bien no todo estudio estadístico es experimental salvo que haya una manipulación intencionada de la realidad por la política científica, la manipulación política o científica de la realidad, la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística surge de la síntesis de probabilidad y estadística, habiendo en la estadística una síntesis de diferentes metodologías, desde la comparada en tanto compara valores cuantitativos empíricos o teóricos, a la historia, sea en estudios intramedicionales, al recabar datos de un momento particular,  único  e irrepetible, del espacio tiempo, la historia, a estudios intermedicionales donde directamente compara datos de diferentes mediciones en diferentes momentos de la historia.

En líneas generales se puede decir que frente a los modelos lineales donde la epistemología y la metodología se entienden de forma simple y plana, desde una epistemología y metodología no lineal la definición de los de métodos de estudio se hace más compleja, en la medida que se dan relaciones dialécticas entre los diferentes métodos. Un ejemplo las relaciones dialécticas entre la metodología estadística, y las metodologías: comparada, histórica y experimental; de cuya combinación pueden surgir diferentes ciencias, según el paradigma de base, exactas o ciencias estocásticas, diferenciándose en diferentes tipos de ciencia, desde ciencias experimentales, a las comparadas y las ciencias históricas; siendo las ciencias comparadas aquellas ciencias empíricas o sintéticas, naturales o sociales, que utilizan el método comparado, sea en de forma cualitativa o cuantitativa, si bien desde la estadística y la probabilidad prevalecerá la comparación cuantitativa, sea descriptiva o inferencial.

Rubén García Pedraza, a Madrid 24 de agosto del 2013

 

 

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Sujeto u opción

Sujeto u opción es el elemento individual de estudio, en estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, de un universo dado, limitado o infinito, de la que se forma la muestra, o de tratarse una población el estudio de la población completa en tanto que muestra aleatoria de esa población en su historia, elemento individual, sujeto u opción, del que se estima a posteriori, sobre la medición de sus puntuaciones directas o frecuencias, la probabilidad empírica sobre el conjunto de la muestra.

La estadística de la probabilidad o probabilidad estadística es un nuevo campo de estudio síntesis de estadística y probabilidad, que dentro de la teoría de Probabilidad Imposible lleva a la síntesis del concepto  estadístico de sujeto  y  de opción probabilística, en tanto que todo sujeto estadístico será tratado como una opción probable, y toda opción probable en tanto que sujeto estadístico.

Una opción es una alternativa probable entre varias posibilidades, pero no la única, y la frecuencia de una opción en particular será igual al número de ocurrencias positivas a favor de esa opción particular dividido entre el número total de opciones, siendo el número total de opciones la muestra de N opciones.

El número  total de opciones, N, que forman la muestra, en estudio de opciones,  se llamará muestra de opciones, y la muestra de opciones forman un universo de opciones limitadas, en donde las opciones que forman ese universo no pueden ser más ni menos que las opciones que forman esa muestra, y la probabilidad empírica de cada opción de la muestra igual a la frecuencia de cada opción entre la frecuencia total, siendo la frecuencia total igual a la suma de la frecuencia de todas las opciones.

En Introducción a la Probabilidad Imposible en el apartado 9 dedicado a la muestra de puntuaciones directas o frecuencias se estudian los diferentes tipos de universos de opciones limitadas, en líneas generales existen dos tipos de universos de opciones limitadas, en función de si la definición de N depende de la hipótesis empírica o es una magnitud variable. Los universos de opciones limitadas sentido estricto son aquellos donde la definición de N viene dada por la hipótesis empírica, identificándose dos subtipos, universos de opciones limitadas materialmente y universos de opciones limitadas socialmente. Los universos de opciones limitadas a una magnitud N variable son aquellos en donde la variación de N no depende de una hipótesis empírica previa, pudiendo ser la variable N modificada en cualquier momento de forma arbitraria por la política científica.

El concepto de sujeto no debe entenderse de forma limitada o restringida a persona  particular o concreta, tal como se entiende en el lenguaje coloquial, sujeto debe entenderse en su sentido más abstracto o morfológico, el elemento de referencia individual de un predicado, es aquello de lo que se predica, siendo, en estadística, o en general, las matemáticas, la puntuación directa el predicado del sujeto, es decir, sujeto es todo aquel elemento individual de referencial de una puntuación directa.

En la medida que en la teoría de Probabilidad Imposible se procede a la síntesis de estadística y probabilidad, y el sujeto será tratado en tanto que opción, en la misma medida que la opción en tanto que sujeto, si la  muestra de opciones es la muestra N opciones, la muestra de sujetos será la muestra N sujetos, luego de igual forma se calcula la probabilidad empírica de opción se estimará la probabilidad empírica de sujeto, sólo que en lugar de sobre frecuencias se hará directamente sobre las puntuaciones directas, de forma que la probabilidad empírica de sujeto será igual a puntuación directa individual entre sumatorio de todas las puntuaciones directas.

En la medida que la probabilidad empírica de opción es igual a frecuencia particular entre total, y la probabilidad empírica de sujeto puntuación directa individual entre la total, en líneas generales y para que la definición de probabilidad empírica sea válida y universal para cualquier tipo de universo, de sujetos en tanto que opciones o de opciones limitadas, en Probabilidad Imposible se dirá que la probabilidad empírica de sujeto u opción es igual a puntuación directa o frecuencia entre el sumatorio de puntuaciones directas o frecuencias, siendo los estudios de puntuaciones directas relativos normalmente a universos de sujetos en tanto que opciones, que se llamarán universos de sujetos u opciones infinitos o universos de sujetos infinitos, o simplemente universos infinitos, y los estudios de frecuencias a universos de opciones limitadas, pudiendo haber siempre excepciones, en donde, por ejemplo determinados universos de opciones limitadas a categorías discretas, u otro tipo de fenómenos posibles no descartables, que pudiendo ser universos de opciones limitadas pueden transformarse en universos de sujetos infinitos.

En Probabilidad Imposible una de las diferencias entre los universos de opciones limitadas y los de sujetos u opciones infinitos es que mientras los de opciones son normalmente limitados, los universos de sujetos u opciones pueden ser universos infinitos, motivo por el cual en Introducción a la Probabilidad Imposible se les llama universos de sujetos u opciones infinitos o universos infinitos. El motivo por el cual se afirma que estos universos pueden ser infinitos, es que, si la materia o la energía ni se crean ni se destruyen, la deducción lógica es que tanto materia o energía son o atemporales, eternas, o infinitas, es decir, lo que no puede destruirse, luego no tiene fin cronológico, por simple definición, lo que no tiene fin es infinito.

En un sentido cosmológico los ciclos de transformación de materia y energía pueden ser infinitos, lo cual implica la posibilidad de infinitos ciclos de entropía, o infinitos ciclos de expansión o retracción de la materia por efecto de la gravedad, o la posibilidad de estados estacionarios infinitos en forma de materia o energía, además de la posibilidad de posibles infinitas historias de nuestro universo, o la posibilidad de infinitos universos sucesivos o paralelos, simultáneos.

El  problema de la comprensión del infinito es que genera lo que Kant ya definía antinomias lógicas, aquello de lo cual elaboramos supuestos a partir de intuiciones o deducciones, sin disponer de pruebas empíricas, puede haber tantos argumentos a favor como en contra, no pudiendo resolverse este dilema en la práctica o de forma positiva porque carecemos de evidencias materiales que refuten una o demuestren la alternativa.

Probabilidad Imposible en tanto se mantiene dentro de la tradición del racionalismo crítico reconoce la hipótesis kantiana que la realidad en sí es incognoscible, de la cual únicamente podemos conocer fenómenos, lo que la realidad muestra de sí, siendo, aplicado a la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, Probabilidad Imposible, la muestra de conocimiento sobre la cual elaboramos deducciones lógicas, criticando racionalmente los datos positivos, el contrate de hipótesis, sobre la razón crítica, que tal cual postula  el materialismo dialéctico es en esencia una razón política, en Probabilidad Imposible denominada política científica.

La cuestión del infinito es abordada en el apartado 7 de Introducción a la Probabilidad Imposible, siendo un elemento central en la definición de los universos de sujetos u opciones infinitos, o también llamados simplemente universos de sujetos o universos infinitos, por cuanto si los universos de opciones limitadas por su propia naturaleza limitada no pueden tender a infinito, salvo excepciones tal cual se explica en el apartado 9, si se acepta la posible tendencia a infinito de la materia y la energía en el espacio tiempo, luego la posibilidad de un universo infinito, o infinitas historias de un mismo universo, o la posibilidad de infinitos universos, sucesivos o paralelos, simultáneos, o infinitas historias de infinitos universos infinitos, de ser posible la existencia del infinito los universos de sujetos pueden ser sujetos infinitos, del cual el sujeto es un elemento posible de un posible N tendente a infinito.

La posibilidad del infinito, dentro de la  tradición del racionalismo crítico, no es descartable, luego de aceptarse dicha hipótesis, tal cual se postula en Probabilidad Imposible, es  la génesis del error, por cuanto, tal como se explica en el apartado 7, el origen del error es la contradicción entre realidad infinita y limitación humana, dado que si no se puede conocer todo, se acepta necesariamente márgenes de ignorancia, márgenes de error, márgenes de escepticismo o duda, un margen de relativa incertidumbre, en el que todo es posible, hasta que  las hipótesis empíricas aceptadas provisionalmente racionales en realidad sean falsas, motivo por el cual todo conocimiento es provisional, y a largo plazo posiblemente falso, o bien, dentro del margen de ignorancia resulte que lo que creíamos imposible sea en realidad inevitable, elementos, la falsedad de todo o la inevitabilidad de lo imposible, que lleva a un relativo nihilismo por cuanto la posibilidad del conocimiento absoluto se difumina en los márgenes de la duda, al mismo tiempo que la ciencia progresa de forma acelerada hacia un incremento exponencial en la sucesión de crisis y revoluciones científicas, siempre y cuando se resuelvan los periodos  de crisis de forma positiva,  hacia un estado estacionario de revolución permanente de la ciencia.

La posibilidad del infinito revela los estrechos márgenes de la ciencia, de hecho, si bien por universo infinito en sentido estricto se entiende los universos de sujetos u opciones infinitos, en los universos de opciones limitadas, sean del tipo que sean, limitados material o socialmente, o de magnitud N variable de forma arbitraria, existe la posibilidad de que sean universos de opciones limitadas sobre posibles universos de frecuencias infinitas, por ejemplo, una moneda está formada por un universo limitado a sólo dos opciones, cara o cruz, sin embargo, si pudiéramos lanzar infinitamente la moneda al aire para estudiar si el resultado sale cara o cruz, la muestra de frecuencia tendería a infinito, por el cual, si bien los universos de opciones limitadas son universos limitados, sin embargo el universo de frecuencias, al igual que el de puntuaciones directas, es un universo que puede tender a infinito.

El tratamiento estadístico de los sujetos será el mismo que el de las opciones, y viceversa, en la misma medida que las puntuaciones directas de los sujetos y las frecuencias de las opciones recibirán igualmente el mismo tratamiento estadístico, en donde la identidad sujeto u opción, y la identidad puntuación directa o frecuencia, parte de la aplicación en Probabilidad Imposible de los principios de la dialéctica hegeliana, según la cual los opuestos son idénticos. De esta forma la identidad sujeto u opción parte de la identidad hegeliana entre sujeto y objeto, de la misma forma que la identidad puntuación directa o frecuencia parte de la identidad hegeliana entre cantidad y calidad.

La aplicación de la dialéctica hegeliana a la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística se hará pero de forma crítica, en Introducción a la Probabilidad Imposible, tal como se desprende de la lectura a lo largo de la obra, los opuestos serán idénticos dentro del margen de error que acepte la política científica, motivo por el cual el isomorfismo idea y realidad será posible pero de forma restringida al margen de error: una idea de la realidad, hipótesis empírica, sólo será idéntica a la realidad, será una idea verdaderamente racional, dentro del margen de error, razón crítica, que acepte la política científica.

De esta forma la identidad sujeto u opción, en los universos de sujetos u opciones infinitos, sólo será posible dentro del margen de error que acepte la política científica, siendo ese margen de error la propia inversión de N, 1/N, la probabilidad de error de representatividad muestral en universos de sujetos u opciones infinitos.  Y la identidad puntuación directa o frecuencia en universos de opciones limitadas sólo será posible dentro del margen de error de probabilidad de representatividad muestral que acepte la política científica, en universos de opciones limitadas igual a la inversión de las puntuaciones directas o frecuencias, 1/Σxi.

El  motivo por el cual la inversión de las puntuaciones directas o frecuencias, 1/Σxi, es la probabilidad de error de representatividad muestral en universos de opciones limitadas, se debe a que en este tipo de universos la muestra de opciones viene dada por el mismo universo, de forma que la verdadera selección estadística es la muestra aleatoria que forma la muestra de puntuaciones directas o frecuencias. Si estudio las probabilidades de salir cara o cruz al lanzar una moneda al aire, o las probabilidades que bajo determinadas condiciones una partícula se comporte como onda o partícula, o la tasa o proporción entre de hombres o mujeres en una sociedad, la muestra de opciones posibles viene predeterminado por el propio universo, cara o cruz, onda o partícula, hombre o mujer, la verdadera muestra aleatoria  es la frecuencia total entre la que se distribuyen las opciones.

Dentro del margen de error de hecho, la inversión de la muestra, inversión de N, 1/N, en universos de sujetos u opciones infinitos, inversión de las puntuaciones directas o frecuencias, 1/Σxi, en universos de opciones limitadas, y el margen de error crítico, la razón crítica, es donde se valida o refuta una hipótesis empírica para ser racional, y es dentro de ese mismo margen de error, de hecho o racional, donde todo es posible, que una hipótesis empírica aceptada racional sea verdaderamente falsa o que lo que creíamos imposible sea inevitable.

Sujeto u opción por tanto son los elementos individuales de referencia, en estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, sobre los que se estudian las probabilidades empíricas, a partir de sus puntuaciones directas o frecuencias, y de la diferencia de probabilidad empírica menos probabilidad teórica, 1/N, inversión de N para cualquier tipo de universo, infinito o limitado, en tanto que media aritmética, se estimará el Nivel de Sesgo y los demás estadísticos de dispersión muestrales, ya sean Desviación Media, Varianza y Desviación Típica, elemento sobre los cuales se desarrollarán los diferentes modelos de crítica racional, sean intramuestrales, apartado 11 de Introducción a la Probabilidad Imposible, y en apartados apartados 16-19, intermedicionales.

 

Rubén García Pedraza, Madrid a 10 de agosto del 2013

 

 

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