Dentro de la estadística tradicional hay que
diferenciar tres tipos de puntuaciones: puntuación directa, puntuación
diferencial, y puntuación típica; la primera de ellas, puntuación directa, es
la que se obtiene directamente de la medición, motivo por el cual se denomina
puntuación directa, al ser producto de la medición directa de un elemento de la muestra, y de la cual dependerán
las demás.
La puntuación directa
tradicionalmente es el valor derivado de la medición directa de un elemento, y
la frecuencia de la puntuación directa el número de veces que ese valor se
repite en una serie de elementos, la muestra.
El fin de la medición seria
la obtención de las puntuaciones directas y las veces que se repiten, y así
determinar los
estadísticos de tendencia central o dispersión. Dentro de la tendencia
central la media
aritmética es la puntuación media proporcional a la frecuencia de las
puntaciones directas, y en los estadísticos de dispersión la Desviación Media sería la dispersión
media de las puntuaciones directas en relación a la puntuación media e
igualmente en proporción o dependiendo de la frecuencia de las puntuaciones
directas.
A partir de esta definición
de puntuación directa o frecuencia dentro de la estadística tradicional, la
media aritmética es igual a la suma del producto obtenido de la multiplicación
de cada puntuación directa por su frecuencia, y el resultado de la suma
dividido entre la frecuencia total, la muestra de frecuencias.
Media aritmética
tradicional= µ = Σ ( xi · f ): F
Xi = puntuación directa
f= frecuencia
F= Σf = frecuencia tota
Además de la puntuación
directa, otro tipo de puntuación imprescindible en estadística tradicional es
la puntuación diferencial , igual a la diferencia de la puntuación
directa menos la media
Puntuación diferencial
tradicional = xi – µ
La puntuación diferencial es
la piedra angular para la construcción de los estadísticos de dispersión, el
primero de ellos, Desviación Media, en donde quitándole el signo a las
puntuaciones diferenciales se multiplican por la frecuencia de su
respectiva puntuación directa, y el resultado final de la suma se divide entre
el sumatorio de la frecuencia, la frecuencia total.
Desviación
Media tradicional = [/( xi – µ)/ · f ] : F
Si las puntuaciones
diferenciales, en la Desviación Media, se elevaran al cuadrado, en lugar de
Desviación Media se llamaría Varianza,”S²”, y la raíz cuadrada de la Varianza
es la Desviación Típica, “S”.
Dos muestras que contemplen
las mismas puntuaciones directas, pero distribuidas en diferentes frecuencias,
tendrían de todos modos estadísticos de tendencia central o dispersión
diferentes.
La forma en que la
estadística tradicional define los estadísticos tradicionales de tendencia central
o dispersión se explican más detalladamente en el apartado 4 de Introducción a
la Probabilidad Imposible.
Finalmente la puntuación
típica sería igual a la puntuación diferencial entre la Desviación Típica,
Puntuación típica = (xi – µ)
: S
De esta manera lo que se
observa es que la base de toda la estadística tradicional es la definición de
puntuación directa, en la medida que es de la definición de puntuación directa
de lo que dependerá después el cálculo de la puntuación diferencial y la puntuación
típica.
Si la estadística
tradicional se centra en el estudio de la tendencia de las puntuaciones
directas, La teoría tradicional de la probabilidad se centraría en el
estudio de la probabilidad de ocurrencia, dado un suceso cual es la
probabilidad de que ocurran las diferentes posibilidades u opciones asociados a
dicho suceso, de forma que la probabilidad que ocurra cualquiera de las
opciones posibles sería igual al cociente de la unidad entre el número de opciones. De esta forma si lanzamos
una moneda al aire y hay dos opciones, cara o cruz, la probabilidad de que
suceda cara o cruz sería de una entre dos, ½, 0,5, lo cual contrasta
frente a la probabilidad que tendría realmente, la frecuencia relativa, también llamada
probabilidad de frecuencia o probabilidad frecuencial, igual a dividir la
frecuencia particular de cada opción entre la frecuencia total, siendo la
frecuencia el número de veces que se produce una ocurrencia determinada.
La estadística y la
probabilidad son dos disciplinas de las matemáticas, que a pesar del
concepto clásico de las matemáticas, en tanto que ciencia hierática por cuanto sus
principios y teoremas son eternos y universales, es una ciencia en continuo
movimiento, y gran parte del progreso en las ciencias ha dependido y dependerá
de las innovaciones en la investigación pura en matemáticas.
Desde que Riemann y
Lobachevsky desarrollaran la geometría no euclidiana, se inician los modelos no
lineales, unido al avance en las demás ciencias, especialmente los modelos no
lineales en mecánica cuántica y las teorías sistémicas, las matemáticas observan
una transformación vertiginosa, donde muchos de los conceptos empezarán a
ser sometidos a un examen crítico, generándose nuevas teorías y perspectivas.
Más en concreto, en el campo
de la estadística, desde finales del siglo XX y principios del siglo XXI se da
un auge de las teorías críticas a la estadística normal, también denominada
estadística tradicional, teorías críticas entre las que se encuentra Probabilidad Imposible, que frente al
concepto tradicional y muy restringido de lo posible y lo imposible
desarrolla una nueva concepción admitiendo la posibilidad de lo imposible bajo
determinadas circunstancias lógicas, tal como se explica en el apartado 7 y
sucesivos, de Introducción a la Probabilidad Imposible y
en el apartado 13, desde una visión
dialéctica, al mismo tiempo que positiva y racional.
Para el desarrollo de esta
nueva concepción es imprescindible a priori una redefinición de los
conceptos básicos en función de los cuales elaborar un discurso coherente sobre
estadística y probabilidad, alternativo y complementario a la tradicional,
aunque superando la distinción clásica de probabilidad y estadística
, diferentes y separadas aunque interconectadas, para avanzar a una teoría
unificada, tal como propone Probabilidad Imposible, creando un nuevo
campo de estudio, la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística.
A fin de hacer posible la
síntesis es necesaria una redefinición sintética de los conceptos más
fundamentales, entre ellos los conceptos de puntuación directa o frecuencia.
Mientras tradicionalmente se
ha diferenciado de forma hermética y cerrada puntuación directa y frecuencia,
en donde la estadística estudia el comportamiento de las puntuaciones
directas, y la probabilidad el estudio de la frecuencia, donde la frecuencia
relativa es la probabilidad frecuencial o probabilidad de frecuencia, la teoría
de Probabilidad Imposible genera un nuevo campo de estudio, la estadística de
la probabilidad o probabilidad estadística, en donde, independientemente que
sea un estudio centrado en el comportamiento de las puntuaciones directas,
estadística tradicional, o frecuencias, probabilidad tradicional, las
puntuaciones directas serán estudiadas en tanto que frecuencias, y las
frecuencias en tanto que puntuaciones directas, para lo cual se diferencia
entre dos tipos de universos, universos de sujetos y universos de opciones.
Los universos de sujetos son
aquellos formados por sujetos de predicados, donde el predicado informa de la
puntuación directa individual obtenida en la medición de una cualidad
particular del sujeto, una cualidad del sujeto común al resto del universo al
que pertenece y por la cual el sujeto forma parte de ese universo, si bien cada
sujeto puede tener una magnitud de intensidad diferente en la cualidad, en
coherencia al resto de sus cualidades particulares, motivo por el cual un mismo
sujeto puede pertenecer a tantos universos como cualidades particulares lo
definan. El concepto de universo de sujetos debe entenderse como aquel
macroconjunto de sujetos que comparten una cualidad en común, aunque diferente
en intensidad todos ellos, universo del cual únicamente se puede estudiar una
muestra, y dependiendo de la magnitud de la muestra de sujetos dependerá la
probabilidad de error de representatividad muestral.
Debido a la limitadas
capacidades humanas, origen del error estadístico, dado un
universo en la medida que no puede estudiar absolutamente de forma completa,
luego el ser humano se ve obligado al estudio de una selección parcial, una
parte del universo, la muestra, la muestra de sujetos seleccionada del universo
para el estudio estadístico será la muestra N sujetos, siendo N el
número de sujetos que forman la muestra,
De esta forma, cuando en Introducción a la Probabilidad Imposible
se menciona el concepto de sujeto no debe entenderse en la forma coloquial de
persona física, por sujeto debe entenderse cualquier elemento, persona u
objeto físico, del cual se ha obtenido una puntuación directa al
medir una cualidad determinada, siendo la puntuación directa la magnitud de
intensidad de dicha cualidad.
En la medida que los sujetos
de un universo pueden tender a infinito, por ejemplo, dada una historia
natural infinita podrían haber infinitas estrellas o planetas, o infinitos
átomos o partículas subatómicas, o dada una historia social infinita podrían
haber infinitas personas, a los universos de sujetos también se les denomina
universos de sujetos u opciones infinitos, recalcando, además de su posible naturaleza
infinita, su tratamiento en tanto que opciones. En el caso de ausencia de
infinito longitudinal en el tiempo, en cualquier periodo de tiempo limitado, en
tanto que la subdivisión del tiempo es infinita, igualmente, cabría infinitas
mediciones.
El motivo por el cual se
destaca la posibilidad de la existencia de universos infinitos es por la
sencilla razón que los universos de sujetos se contraponen a los universos de
opciones, en donde los universos de opciones en Introducción a la Probabilidad
Imposible se llaman directamente universos de opciones limitadas, por cuanto el
universo está limitado directamente a las opciones posibles.
Los universos de opciones
limitadas a su vez se sub-clasifican en dos tipos de universos, universos de
opciones limitadas materialmente o universos de opciones limitadas socialmente.
Ejemplos de universos de opciones limitadas materialmente, el ser humano sólo
puede ser hombre o mujer, si lanzamos una moneda al aire sólo puede ser cara o
cruz, y un ejemplo de opciones limitadas socialmente, en unas elecciones
democráticas la intención de voto sólo puede distribuirse entre las distintas
opciones políticas o candidaturas que se presentan. Los distintos modelos de
universos de opciones se explican más detalladamente en el apartado 9 de Introducción a la Probabilidad Imposible.
En los universos de opciones
limitadas, dado que el propio universo de opciones ya viene limitado entonces
si se puede estudiar el universo directamente sin selección muestral previa,
siendo la muestra N la muestra de opciones,
el universo de opciones es en sí mismo la muestra.
Mientras en los universos de
sujetos lo que se estudia es la puntuación directa asociada a cada sujeto
individualmente, en universos de opciones lo que se estudia es la distribución
de la frecuencia entre todas las opciones, siendo la frecuencia particular de
cada opción el número de ocurrencias de esa opción, de modo que si la
puntuación directa es la magnitud de intensidad en la cualidad del sujeto, y la
frecuencia es la magnitud de intensidad en la cantidad de la ocurrencia de una
opción, en cualquier caso, puntuación directa o frecuencia son distintas formas
de expresarse la magnitud de intensidad, en un caso, puntuación directa,
magnitud de intensidad de la cualidad, en otro caso, frecuencia, magnitud de
intensidad de la cantidad de ocurrencia.
En la medida que a partir de
esta redefinición que hace Probabilidad Imposible de ambos conceptos,
puntuación directa o frecuencia, en esencia idénticos, magnitud de intensidad,
diferenciándose en que en un caso, puntuación directa, es de cualidad y otro,
frecuencia, cantidad de ocurrencia, entonces ya se establecen las bases para la
elaboración de una aproximación teórica al estudio de la estadística de la
probabilidad o probabilidad estadística, en donde la estadística se aplica a la
teoría de probabilidad y viceversa, la teoría de probabilidad a la estadística,
en donde, independientemente que sea un estudio de puntuaciones directas en
universos de sujetos, o un estudio de frecuencia en universos de opciones,
independientemente del tipo de universo la probabilidad empírica será siempre
igual a puntuación directa o frecuencia individual entre la puntuación directa
o frecuencia total, y la media aritmética igual a inversión de N, al mismo tiempo que probabilidad teórica y otras funciones
añadidas, dentro de la multifuncionalidad de la inversión de N.
El motivo por el que de
forma universal la probabilidad empírica se defina puntuación directa o
frecuencia entre sumatorio de puntuación directa o frecuencia, es para que sea
válida para todo tipo de universo posible, ya sea sujetos, probabilidad
empírica igual a puntuación directa particular entre la total, o de opciones,
probabilidad empírica igual a frecuencia particular entre la total, de esta
forma, sintetizando el concepto de puntuación directa o frecuencia en tanto que
idénticos, magnitud de intensidad, sólo que uno de cualidad, y otro de cantidad
de ocurrencia, pero en esencia, magnitud de intensidad resultado de la medición
estadística, todo tipo de universo, de sujetos u opciones, se puede estudiar al
mismo tiempo en tanto que estadística y probabilidad.
En la medida que la media
aritmética sería igual al promedio del sumatorio de las probabilidades
empíricas, entonces la media aritmética de las probabilidades empíricas serían
la inversión de N, ya sea N sujetos de una muestra de sujetos extraída de un
universo de sujetos, o sea N opciones de un universo de opciones,
indistintamente para todo universo posible la inversión de N además de media de
las probabilidades empíricas sería la probabilidad teórica, entre otras
funciones.
De esta manera,
independientemente que en universos de sujetos se mida la puntuación directa de
cada sujeto individual, o en universos de opciones la frecuencia de cada opción
individual, finalmente, independientemente del tipo de universo, se llevaría a
cabo el mismo tratamiento estadístico de la probabilidad, mediante
probabilidades empíricas o teóricas, en donde la puntuación diferencial de la
estadística tradicional se transformaría en el Nivel de Sesgo, y la puntuación
típica se transformaría para adaptarse a un estudio de probabilidades, tal como
se explica en el apartado 15 de Introducción a la Probabilidad Imposible.
Desde una visión diferente a
los conceptos más básicos de estadística y probabilidad, se elabora un discurso
matemático diferente y alternativo, que responde a las actuales expectativas y
exigencias de la ciencia, en un proceso de redefinición de la estructura de
estas disciplinas.
Rubén García Pedraza, Madrid
a 29 de junio del 2013
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