Sesgo positivo en modelos omega

Sesgo positivo es cuando la diferencia entre la probabilidad empírica de sujeto u opción menos la probabilidad teórica o inversión de N es igual a un valor de signo positivo. A dicha diferencia se le denomina Nivel de Sesgo en el Segundo Método de la teoría de Probabilidad Imposible, los modelos en los que se aplica son dos, modelos normales y modelos omega.

 

Los modelos normales son aquellos en donde la dispersión puede variar entre cero o máxima, dispersión cero cuando se dan condiciones de igualdad de oportunidades, lo que en la estadística tradicional, el Primer Método se ha conocido por principio de indiferencia, y dispersión máxima cuando la dispersión tiende a su máximo valor posible. En el Segundo Método de Probabilidad Imposible el cálculo de la máxima dispersión se hace  a partir de considerar que bajo condiciones normales la máxima dispersión se produce cuando de toda N hay al menos un sujeto u opción, que por el motivo que sea tiende a Máxima Probabilidad Empírica Posible, cuando la probabilidad es iguala uno, “1”, luego su Nivel de Sesgo tiende a Máximo Sesgo Teórico Posible, igual a “1 –1/N”, de modo que los demás sujetos u opciones, N menos uno, “N –1”, tienden a la Mínima Probabilidad Empírica Posible, probabilidad igual a cero, “0”, que es la Probabilidad Imposible, de modo que generan el Máximo Sesgo Negativo Posible, cero menos inversión de N, “0 – 1/N”. Bajo estas condiciones de máxima dispersión el modelo tendería a Máxima Desviación Media Teórica Posible, Máxima Varianza Teórica Posible, y Máxima Desviación Típica Teórica Posible. 

 

Máxima Desviación Media Teórica Posible =  [ ( 1 – 1/N) · 2 ] : N 

 

Máxima Varianza Teórica Posible = {  ( 1 – 1/N)² + [ 1/N² · ( N – 1 ) ] } : N 

 

Máxima Desviación Típica Teórica Posible =√ { {  ( 1 – 1/N)² + [ 1/N² · ( N – 1 ) ] } : N  } 

 

Cualquier modelo en donde lo normal sea que la dispersión varía entre cero o máxima sería un modelo normal, mientras que en los modelos omega la  dispersión tiende a localizarse entre modelos de dispersión omega.

En la teoría de Probabilidad Imposible se denomina omega a todo modelo en donde dada una muestra N de sujetos u opciones, dentro del conjunto N hay un subonjunto de sujetos u opciones ideales, a ese subconjunto se llamará omega, y se representará con la letra omega, Ω, del alfabeto griego. El motivo por el cual en Probabilidad Imposible se denomina omega a dicho subconjunto de sujetos u opciones dentro de N se debe a que, dentro del idealismo matemático de Probabilidad Imposible, se entiende que dado un conjunto N en donde haya un subconjunto de ideales, cuya naturaleza ideal radica ya bien porque son un ideal de logro, perfección, o un ideal en la realización de una acción, ya sea en términos de eficiencia o eficacia, sea por el motivo que sea lo ideal es que para ese conjunto de elementos omega lo ideal es que su probabilidad empírica sea la más elevada de toda N.

Para que se pueda hablar de modelo omega por tanto es necesario un subconjunto omega, Ω, dentro de N, que por el motivo que sea hay que elevar al máximo a todos los elementos omega por igual su probabilidad empírica, a la probabilidad empírica ideal a la que deberían tender los sujetos u opciones omega se llamará probabilidad ideal, y dado que se parte del supuesto que todos los demás sujetos u opciones no omega en tanto que no ideales deberían tender a probabilidad empírica igual a cero, entonces toda la distribución de puntuaciones directas o frecuencias debería repartirse sólo entre los sujetos u opciones omega, que en tanto disfruten por igual de un mismo valor ideal, la tendencia ideal para todo sujeto u opción omega debería ser la misma, de modo que si se repartiera por igual la distribución de puntuaciones directas o frecuencias entre los sujetos u opciones omega, la probabilidad ideal para todo sujeto u opción omega sería igual a la inversión de omega, “1/Ω”, de modo que el sesgo positivo ideal de la probabilidad ideal será igual a inversión omega o probabilidad ideal menos inversión de N o probabilidad teórica.

 

Sesgo Ideal = 1/Ω  - 1/N 

 

En la medida que conocemos cual debería ser el sesgo ideal estamos en condiciones de conocer cual sería la Máxima Desviación Media Ideal, la Máxima Varianza Ideal, y la Máxima Desviación Típica Ideal. 

 

Máxima Desviación Media Ideal = [ (1/Ω  - 1/N ) · 2 ] : N 

 

Máxima Varianza Ideal = { (1/Ω  - 1/N )² + [ 1/N² · ( N – 1 ) ] } : N  

 

Máxima Desviación Típica Ideal = √ { { (1/Ω  - 1/N )² + [ 1/N² · ( N – 1 ) ] } : N } 

 

La razón por la cual es posible calcular en el Segundo Método de Probabilidad Imposible cual debería ser la dispersión ideal para modelos omega, en función de la magnitud de los ideales, se debe a que en el momento que conocemos cual debería ser el sesgo ideal, entonces podemos hacer una deducción lógica de los demás estadísticos de dispersión muestrales.

El motivo por el cual el estudio de la tendencia ideal de los sujetos u opciones omega es un estudio de sesgo positivo, aunque adaptado a las condiciones omega, se debe a que, bajo condiciones omega, que en una muestra N el subconjunto de sujetos u opciones ideales sea inferior a N y superior a uno, un subconjunto de sujetos u opciones omega entre dos y N menos uno, es un estudio en donde la tendencia ideal de los sujetos u opciones omega es a repartirse por igual la distribución de la muestra de puntuaciones directas o frecuencias, de modo que todos tenderían a una misma probabilidad empírica, la probabilidad ideal, la cual a su vez es una probabilidad cuyo sesgo positivo es igual a la diferencia de la probabilidad ideal menos la probabilidad teórica.

En Introducción a la Probabilidad Imposible, estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, se abordan los modelos omega de forma más detallada, explicándose su lógica en el apartado 10 en donde se expone algún ejemplo en este tipo de investigaciones, así como por supuesto en el apartado 11 en donde se abordan de forma más detenida los procedimientos de crítica racional en estudios intramedicionales, normalmente intramuestrales, así como en los demás apartados dedicados a los estudios intramedicionales, al igual que en el apartado 20 se desarrollan modelos omega para estudios intermedicionales, ya sean intermuestrales o intramuestrales.

La diferencia entre estudios intermuestrales o intramuestrales radica en que en los estudios intermuestrales al haerse sobre más de una muestra, en el momento en que haya variaciones sobre el valor N, entonces habrá que calcular el efecto de N en los diversos valores de la investigación, tanto en probabilidades y estadísticos de dispersión.

El ejemplo más habitual de estudio de sesgo positivo en modelos omega es la de un examen tipo test en donde por cada pregunta del test hay diferentes ítems, de modo que en el conjunto del test, las opciones ideales del test son aquellos ítems de respuesta adecuada, de modo que si en un test donde hay una serie de preguntas, el número total de opciones es el número total de ítems, de modo que N son los ítems u opciones totales del test, integrando en el conjunto N todos los ítems u opciones de respuesta de todo el test, entonces de todos los ítems u opciones N sólo se considerarán omega aquellos, Ω, ítems u opciones correctas, cuyo ideal sería que su probabilidad empírica tendiera. a la probabilidad ideal, mientras que todos los demás ítems u opciones incorrectas lo ideal es que tendieran a probabilidad empírica igual a cero.

 

Otro ejemplo, pero ahora valorando cada pregunta del test de forma individual, es que si dentro de una pregunta de un test con posibilidad de opciones múltiples, para las opciones en particular de una pregunta en concreto hubiera más de una opciones correcta, aunque no todas, de igual modo sería un modelo omega. Si dada una pregunta hay N opciones de respuesta posible, y más de una es correcta, aunque no todas lógicamente, lo ideal es que todas las opciones de respuesta incorrecta para esa pregunta tiendan a probabilidad empírica cero, mientras las opciones correctas de esa misma preguntan tiendan a probabilidad ideal, dado que el conjunto de opciones correctas de esa pregunta sería igual al subconjunto omega de esa pregunta en particular.

El estudio de sesgos positivos de los sujetos u opciones ideales en modelos omega son estudios de sesgo positivo por cuanto se parte del principio ideal de que, siempre y cuando los ideales tiendan a un comportamiento ideal, el sesgo asociado a cada valor ideal será positivo.

 

En cualquier caso hay que remarcar que serán modelos omega aquellos  en donde dado un conjunto N de sujetos u opciones, hay un subconjunto de sujetos u opciones omega, inferior a N y superior a uno, entre dos y N menos uno, en donde todos los sujetos u opciones que se definan ideales tenderán a la misma probabilidad empírica, la probabilidad ideal igual a inversión de omega, 1/Ω. En caso que hubiera un modelo en donde hubiera más de un ideal en gradación de idealismo, eficacia o eficiencia, en donde en función del grado de idealismo, eficacia o eficiencia en una escala, le correspondiera un valor jerárquico diferente, entonces no sería un modelo omega, sería una Distribución Efectiva, las cuales son explicadas en el apartado 22 de la Introducción a la Probabilidad Imposible, estadística de la probabilidad o probabilidad estadística.

 

 Rubén García Pedraza, Madrid a 15 de noviembre del  2014

 

 

 

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La lógica

La lógica es aquella disciplina analítica que se dedica al estudio de las relaciones formales, habiendo diversos paradigmas sobre el modo de operar  de la lógica, los paradigmas más importantes a este respecto son la lógica inductiva, la lógica deductiva, y la lógica dialéctica.

El estudio de la lógica hunde sus raíces en la filosofía clásica, del cual Aristóteles será uno de sus máximos exponentes, desarrollando un modelo de lógica lineal, muy acorde al paradigma matemático de la época, la geometría euclidiana. A medida que los modelos lógicos lineales han sido discutidos a la par que la geometría euclidiana, han surgido nuevos modelos de lógica no lineal, del mismo modo que  han surgido nuevos modelos de geometría no euclidiana.

La crítica a la geometría euclidiana se puede decir que toma vigor a partir de la geometría proyectiva en el siglo XVII, y posteriormente los modelos geométricos no lineales del siglo XIX, especialmente la geometría de Lobachevsky, siguiendo sugerencias de Gauss, y de Riemann, iniciándose un nuevo modo de entender las relaciones espacio-temporales que tendrán una honda repercusión en la teoría de la relatividad, que toma un modelo de espacio-tiempo curvo en contradicción con el espacio-tiempo lineal de Newton.

Al mismo tiempo que en geometría, las matemáticas y la física, y en general las ciencias naturales, la crítica a la lógica lineal lleva al redescubrimiento de nuevos modelos de relaciones espacio-temporales, en la filosofía la principal crítica a la lógica lineal aristotélica vendrá de parte de la lógica dialéctica de Hegel, que en oposición  a la lógica lineal aristotélica basada en el principio de no contradicción, Hegel desarrolla una lógica dialéctica establecida sobre la base de la contradicción dialéctica, en cierto sentido un desarrollo ulterior de la antinomia kantiana a la cual supera en la medida que integra la noción de síntesis,  en virtud de la cual toda relación de identidad se basa en una relación de contradicción. En lógica dialéctica el concepto de identidad se establece sobre la oposición de las ideas, los opuestos son idénticos.

La lógica dialéctica es en esencia un desarrollo ulterior de la filosofía kantiana. Un desarrollo más profundo del racionalismo crítico de Kant sólo puede suponer una vuelta al idealismo, de hecho se puede decir que Kant será el principal precursor de todo el idealismo alemán del siglo XIX, de igual modo que Descartes será el principal precursor del racionalismo en todo el continente y especialmente Francia.

Aunque hay distintos modelos de lógica, y dentro de la lógica matemática una de las que tendrá especial importancia para la teoría de la probabilidad es la lógica de conjuntos, la lógica booleana o la lógica bayesiana, habría que diferenciar entre teorías propias de lógica, o modelos lógico-matemáticos concretos, y los principales paradigmas de referencia.

El hecho que apliquemos las tablas de la verdad en un supuesto o cualquier otra herramienta propia de la lógica no supone la aceptación o rechazo de un paradigma, simplemente son diversas formas de operar la lógica, operaciones lógico-matemáticas cuyo valor o modo de interpretación dependerá del paradigma de referencia.

Al igual que el hecho que apliquemos un algoritmo en particular para la solución de un problema matemático no implica un paradigma determinado para la resolución del problema, de igual modo el hecho que se aplique una u otra operación lógica no pre-determina el paradigma, lo que ocurre es que cada paradigma tendrá una forma diferente de entender las operaciones lógico-matemáticas.

Los principales paradigmas lógicos como se ha mencionado son la lógica inductiva, la lógica deductiva, y la lógica dialéctica. La lógica inductiva es aquella que dada una serie de observaciones realiza una generalización sólo y exclusivamente válida para las observaciones realizadas. Cualquier otro fenómeno quedaría exento de aplicarse dicha generalización. Evidentemente esto produce serios problemas a la hora de generar un conocimiento universal, dado que una proposición general sólo será válida sólo y exclusivamente sobre una serie de observaciones realizadas, y no sobre cualquier otro fenómeno.

La principal operación lógica a la cual la filosofía se ha dedicado a su estudio desde la antigüedad es el silogismo, aquel en donde a partir de unas premisas se llega a una conclusión, en donde dichas premisas se catalogan en premisa primera o mayor, y premisa segunda o menor, en donde normalmente la premisa mayor es una proposición de orden general, la premisa menor un hecho particular, y la conclusión es la relación concreta entre el hecho particular y la proposición general.

El modo de operar la lógica inductiva es que, si dada una serie N de observaciones todas comparten una misma cualidad, la conclusión lógica es que esa cualidad es propia de N. Ahora bien, en el momento que el conjunto N es un conjunto limitado de observaciones, esa cualidad atribuida a N es sólo válida para esa N concreta y particular, lo cual invalidaría una extrapolación universal, uno de los problemas por los que el conocimiento inductivo no puede llegar a proposiciones universales.

El hecho que la lógica inductiva sólo parta de premisas empíricas, luego rechace de facto cualquier premisa sólo formal, sin valor empírico, no invalida que la lógica sea la disciplina que estudia las relaciones formales, lo único que significa es que el paradigma inductivo sólo estudia posibles relaciones formales entre proposiciones empíricas. A diferencia de otros paradigmas lógicos, deductivos o dialécticos, en donde se estudia todas las posibles relaciones formales entre todas las hipotéticas proposiciones  empíricas y formales.

La lógica deductiva parte de una relación entre premisas, mayor y menor, general y particular, en donde la forma de operarse sobre la realidad concreta es a través de generar conclusiones universales. Las premisas de la deducción no se restringen sólo a observaciones empíricas, pudiendo ser premisas de orden teórico, filosófico, y dentro de la teoría de Probabilidad Imposible se comprende que a menudo dichas premisas son ideológicas o políticas, tal como se explica en el apartado 10, el apartado 24, y el apartado 25, de Introducción a la Probabilidad Imposible, estadística de la probabilidad o probabilidad estadística.

En el modo de entender la lógica deductiva en Introducción a la Probabilidad Imposible, estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, sobre la síntesis de premisas empíricas y premisas ideológico-políticas, o de otro orden filosófico o creencial, sobre dicha síntesis se opera la conclusión lógica a contrastar, la hipótesis empírica, la cual deberá demostrarse verdadera o falsa en la práctica, la crítica racional.

En cualquier caso en Probabilidad Imposible tampoco se niega de forma absoluta el valor de la lógica inductiva, la cual puede tener algún tipo de uso determinado en contextos exploratorios descriptivos, en lo que sería la primera fase de la investigación científica, conclusiones a las que se puede llegar inductivamente en la fase de descripción de la realidad pero que al sintetizarse después junto las premisas ideológico-políticas de la política científica darán lugar a la hipótesis empírica a contrastar en las ciencias sintéticas.

En cualquier caso la importancia del método deductivo radica en que, mientras el método inductivo sólo es aplicable a ciencias sintéticas, por cuanto sólo opera sobre observaciones empíricas, registros empíricos, sin embargo la importancia del método deductivo radica en que es un método aplicable tanto a ciencias sintéticas, para la elaboración de hipótesis empíricas, y en las ciencias analíticas, para el desarrollo de deducciones lógicas sobre las relaciones formales.

La lógica inductiva y la lógica deductiva por tanto se diferencian sobre la naturaleza de las premisas, mientras en la lógica inductiva las premisas sólo y exclusivamente pueden ser observaciones empíricas, para la lógica deductiva la premisas pueden ser tanto observaciones empíricas como cualquier otro tipo de premisa filosófica, formal, o ideológico-política, motivo por el cual la lógica deductiva permite operar tanto en ciencias analíticas y sintéticas, porque el método deductivo no se cierra sólo a las ciencias sintéticas, como hace el método inductivo, dado que el deductivo también puede operar en ciencias analíticas sobre premisas exclusivamente formales.

La principal diferencia entre lógica inductiva y deductiva es sobre si las premisas son sólo empíricas, inductivismo, o no, admitiéndose premisas formales además de las empíricas, deductivismo. Y la diferencia entre la lógica dialéctica frente la lógica inductiva o deductiva, es que mientras la lógica inductiva o deductiva parten del principio de no contradicción, sin embargo la lógica dialéctica rechaza dicho principio sirviéndose del principio de contradicción para la elaboración de identidades dialécticas.

Tanto la lógica inductiva o deductiva, ya bien sea sólo sobre premisas empíricas, inductivismo, o premisas empíricas y formales, deductivismo, todas las conclusiones lógicas son de naturaleza lineal no pudiendo haber contradicción entre sus conclusiones y las premisas, y en cualquier caso las funciones de equidad que definan los conjuntos no admiten contradicción alguna.

En cambio para la lógica dialéctica las funciones de equidad que definen los conjuntos se basa en el principio de contradicción dialéctico según el cual los opuestos son idénticos.

Dentro del paradigma dialéctico hay dos grandes interpretaciones, el idealismo dialéctico y el materialismo dialéctico. El idealismo dialéctico arranca de Hegel y tiene enormes repercusiones en todo el idealismo alemán, que tendrá una gran influencia en la física, por ejemplo el principio de incertidumbre de Heisenberg. En esencia  la dialéctica idealista tiene por principal precedente las antinomias lógicas de Kant, dentro de la cual se ubica la antinomia del infinito, fundamental para entender el infinito en las matemáticas modernas. Mientras en la antigüedad clásica hay un profundo escepticismo sobre la idea de infinito, en la  modernidad se avanza hacia una nueva concepción del infinito, en donde se pasa de la sospecha a la aceptación, teniendo importantes aplicaciones prácticas en Cantor o en Schrödinger.

El materialismo dialéctico será desarrollado por los filósofos Marx y Engels, que harán una lectura invertida del idealismo hegeliano, en donde si Hegel aplicaba la dialéctica a las relaciones formales entre las ideas, lo que harán Marx y Engels será aplicar las leyes de la dialéctica a las relaciones materiales, lo cual en ciencias sociales dará lugar al materialismo histórico. En general, la forma en que Marx y Engels aplican el método dialéctico sobre las relaciones materiales generará un nuevo modo de entender el materialismo, el cual pasa del clásico empirismo basado en la contemplación pasiva de la realidad, la observación, a la transformación activa de la realidad, dando lugar a una visión revolucionaria de la ciencia y la filosofía, la función del filósofo no es describir, es transformar. A esta nueva visión del materialismo sus autores, Marx y Engels, la denominaran materialismo moderno.

La lógica dialéctica, ya sea en su versión idealista, Hegel, o materialista, Marx y Engels, partirá en cualquier caso de la identidad de los opuestos, motivo por el cual se parte de la ley dialéctica por la que se establece la identidad entre lo cualitativo y lo cuantitativo, toda transformación cualitativa es cuantitativa y viceversa.

Cada uno de los tres principales paradigmas de la lógica, han tenido desarrollos en diferentes escuelas filosóficas desde la antigüedad clásica. La lógica inductiva ha sido ampliamente defendida por el empirismo clásico y el positivismo lógico, la lógica deductiva ha sido apoyada siempre por las escuelas idealistas y racionalistas, y la lógica dialéctica ha sido desarrollada por el idealismo dialéctico a partir de Hegel, y el materialismo moderno. El hecho que cada escuela filosófica desarrolle un paradigma u otro de la lógica, inductivo, deductivo, dialéctico, no supone en modo alguno un cambio en el modo de proceder en las operaciones lógicas,  lo que supone es un cambio en la forma de interpretar la naturaleza de sus premisas y sus conclusiones. Es decir, la operación lógica en sí misma no varía, lo que varía es la forma de entender la naturaleza de las premisas sobre las que se opera, y la forma de entender el valor de sus conclusiones.

La teoría de Probabilidad Imposible en tanto que una teoría ecléctica síntesis de los principales paradigmas de la filosofía contemporánea, positivismo, racionalismo y materialismo moderno, parte de una concepción de la lógica para el desarrollo de proposiciones formales que se sintetiza en el silogismo de la tendencia en tanto que método formal para el desarrollo del campo de la estadística de la probabilidad o probabilidad estadística en tanto que disciplina analítica perteneciente a las matemáticas.

En el apartado 13 de Introducción a la Probabilidad Imposible, estadística de la probabilidad o probabilidad estadística, se hace alguna mención al valor de la inducción en los procesos descriptivos, aunque por lo general, tal como se expone en el apartado 10 y sobre todo el apartado 25, la principal perspectiva lógica de Probabilidad Imposible es la lógica deductiva, a la cual se funde la lógica dialéctica en la interpretación de la identidad de los opuestos, siendo a partir de la aplicación de la lógica dialéctica sobre la que se construye los conceptos de sujeto u opción, puntuación directa o frecuencia, probabilidad empírica y probabilidad teórica, universos infinitos y universos limitados, y toda una concepción dialéctica de la realidad en donde la definición de cada elemento se basa a partir de su contrario, para que finalmente la operación lógica sobre uno u otro sea la misma. Sea un universo infinito o limitado da igual, la forma de operar la probabilidad empírica, la probabilidad teórica, el Nivel de Sesgo, y todos los estadísticos de dispersión y crítica racional será exactamente la misma, habiendo sólo variaciones en aquellos aspectos en que sean diametralmente opuestos, por ejemplo, en la valoración de la dispersión teórica en función del tipo de universo, variaciones por lo demás lógicas en coherencia a sus diferencias. En esencia, una síntesis entre lógica no lineal dialéctica, basada en el principio de contradicción, y lógica lineal deductiva, admitiéndose sólo la lógica inductiva en descripciones preliminares en ciencias sintéticas, como paso previo a la síntesis de la descripción y las ideas previas, ya sean filosóficas, ideológicas, o políticas.

 

Rubén García Pedraza, Madrid a 1 de noviembre del 2014

 

 

 

 

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